Sám jsem s tím právě experimentoval. Zdá se, že Firefox zobrazí výzvu pouze v případě, že jste již importovali certifikát podepsaný stejným vydavatelem, který podepsal SSL certifikát webu.
Nechte tedy svou CA, aby podepsala certifikáty serveru i klienta, a poté importujte klientský certifikát do Firefoxu (přes okno Předvolby.) Při příští návštěvě webu si Firefox všimne, že má klientský certifikát podepsaný stejnou CA jako SSL certifikát serveru, takže se vás zeptá, zda jej použít nebo ne.